Nakenstatistikk er den mest interessante boken om den kjedeligste vitenskapen

2024 Forfatter: Malcolm Clapton | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 04:07

Hvem sa at statistikk er en kjedelig og ubrukelig vitenskap? Charles Wheelan argumenterer overbevisende for at dette langt fra er tilfelle. I dag publiserer vi et utdrag fra boken hans om hvordan du vinner en bil, ikke en geit, ved å bruke statistikk, og forstår at intuisjon kan villede deg.

Monty Hall-gåten

Monty Hall-mysteriet er et kjent problem innen sannsynlighetsteori som forvirret deltakere i et spillprogram kalt Let's Make a Deal, fortsatt populært i flere land, som hadde premiere i USA i 1963. (Jeg husker hver gang jeg så dette programmet som barn, da jeg ikke gikk på skolen på grunn av sykdom.) I introduksjonen til boken har jeg allerede påpekt at dette spillprogrammet kan være interessant for statistikere. På slutten av hvert nummer sto deltakeren som nådde finalen med Monty Hall foran tre store dører: dør nr. 1, dør nr. 2 og dør nr. 3. Monty Hall forklarte finalisten at bak én. av disse dørene var en svært verdifull premie - for eksempel en ny bil og en geit bak de to andre. Finalisten måtte velge en av dørene og få med seg det som lå bak. (Jeg vet ikke om det var minst én person blant deltakerne i showet som ønsket å skaffe seg en geit, men for enkelhets skyld vil vi anta at de aller fleste deltakerne drømte om en ny bil.)

Den opprinnelige sannsynligheten for å vinne er ganske enkel å fastslå. Det er tre dører, to skjuler en geit, og den tredje skjuler en bil. Når en deltaker i showet står foran disse dørene med Monty Hall, har han én av tre sjanser til å velge døren som bilen er plassert bak. Men, som nevnt ovenfor, er det en hake i Let's Make a Deal som udødeliggjorde dette TV-programmet og dets programleder i litteraturen om sannsynlighetsteori. Etter at finalisten i showet peker på en av de tre dørene, åpner Monty Hall en av de to gjenværende dørene, bak som det alltid er en geit. Så spør Monty Hall finalisten om han vil ombestemme seg, det vil si å forlate den tidligere valgte lukkede døren til fordel for en annen lukket dør.

La oss si, for eksempel, at deltakeren pekte på dør nr. 1. Så åpnet Monty Hall dør nr. 3, bak som bukken gjemte seg. To dører, dør nr. 1 og dør nr. 2, forblir lukket. Hvis den verdifulle premien var bak dør nr. 1, ville finalisten vunnet den, og hvis den var bak dør nr. 2, ville han ha tapt. Det er på dette tidspunktet Monty Hall spør spilleren om han vil endre sitt første valg (i dette tilfellet, forlate dør nr. 1 til fordel for dør nr. 2). Du vil selvfølgelig huske at begge dørene fortsatt er stengt. Den eneste nye informasjonen deltakeren fikk var at bukken havnet bak en av to dører han ikke valgte.

Bør finalisten forlate det første valget til fordel for dør nr. 2?

Jeg svarer: ja, det burde det. Hvis han holder seg til det opprinnelige valget, vil sannsynligheten for å vinne en verdifull premie være ⅓; hvis han ombestemmer seg og peker på dør nr. 2, vil sannsynligheten for å vinne en verdifull premie være ⅔. Hvis du ikke tror meg, les videre.

Jeg innrømmer at dette svaret er langt fra åpenbart ved første øyekast. Det ser ut til at uansett hvilken av de to gjenværende dørene finalisten velger, er sannsynligheten for å motta en verdifull premie i begge tilfeller ⅓. Det er tre lukkede dører. Til å begynne med er sannsynligheten for at en verdifull premie er skjult bak noen av dem ⅓. Gjør finalistens beslutning om å endre valget til fordel for en ny lukket dør noen forskjell?

Selvfølgelig, siden fangsten er at Monty Hall vet hva som er bak hver dør. Hvis finalisten velger dør nr. 1 og det faktisk er en bil bak den, kan Monty Hall åpne enten dør nr. 2 eller dør nr. 3 for å avsløre bukken som lurer bak den.

Hvis finalisten velger dør 1 og bilen er bak dør 2, vil Monty Hall åpne dør 3.

Hvis finalisten peker på dør 1 og bilen er bak dør 3, vil Monty Hall åpne dør 2.

Ved å ombestemme seg etter at programlederen har åpnet en av dørene, får finalisten fordelen av å velge to dører i stedet for én. Jeg vil prøve å overbevise deg om riktigheten av denne analysen på tre forskjellige måter.

Den første er empirisk. I 2008 skrev New York Times-spaltist John Tyerney om Monty Hall-fenomenet. Etter det utviklet de ansatte i publikasjonen et interaktivt program som lar deg spille dette spillet og uavhengig bestemme om du vil endre ditt første valg eller ikke. (Programmet sørger til og med for små geiter og små biler som dukker opp bak dørene.) Programmet registrerer gevinstene dine i tilfelle du endrer ditt første valg, og i tilfelle du ikke er overbevist. Jeg betalte en av døtrene mine for å spille dette spillet 100 ganger, og endret hennes opprinnelige valg hver gang. Jeg betalte også broren hennes for å spille spillet 100 ganger, og beholdt den opprinnelige avgjørelsen hver gang. Datteren vant 72 ganger; broren hennes 33 ganger. Hver innsats ble belønnet med to dollar.

Bevis fra episoder av spillet Let's Make a Deal viser det samme mønsteret. I følge Leonard Mlodinov, forfatter av The Drunkard's Walk, hadde de finalistene som endret sitt første valg omtrent dobbelt så stor sannsynlighet for å vinne som de som ikke var overbevist.

Min andre forklaring på dette fenomenet er basert på intuisjon. La oss si at spillereglene har endret seg litt. For eksempel starter finalisten med å velge en av tre dører: Dør #1, Dør #2 og Dør #3, som opprinnelig planlagt. Men så, før du åpner noen av dørene, bak som bukken gjemmer seg, spør Monty Hall: "Godtar du å gi opp valget ditt i bytte mot å åpne de to gjenværende dørene?" Så hvis du valgte dør nr. 1, kan du ombestemme deg til fordel for dør nr. 2 og dør nr. 3. Hvis du pekte på dør nr. 3 først, kan du velge dør nr. 1 og dør nr. 2. Og så videre.

Dette ville ikke være en spesielt vanskelig avgjørelse for deg: det er ganske åpenbart at du bør gi opp det første valget til fordel for de to gjenværende dørene, da dette øker vinnersjansene fra ⅓ til ⅔. Det mest interessante er at det er dette, i hovedsak, Monty Hall tilbyr deg i et ekte spill, etter å ha åpnet døren bak som bukken gjemmer seg. Det grunnleggende faktum er at hvis du fikk muligheten til å velge to dører, ville en geit gjemt seg bak en av dem uansett. Når Monty Hall åpner døren bak som bukken er, og først da spør deg om du godtar å endre ditt første valg, øker det betraktelig sjansene dine for å vinne en verdifull premie! I utgangspunktet forteller Monty Hall deg: "Sjansene for at en verdifull premie gjemmer seg bak en av de to dørene du ikke valgte første gang er ⅔, som fortsatt er mer enn ⅓!"

Du kan forestille deg det slik. La oss si at du pekte på dør nr. 1. Etter det gir Monty Hall deg muligheten til å forlate den opprinnelige avgjørelsen til fordel for dør nr. 2 og dør nr. 3. Du samtykker og har to dører til disposisjon, som betyr at du har alle grunner kan forvente å vinne en verdifull premie med en sannsynlighet på ⅔, ikke ⅓. Hva ville ha skjedd hvis Monty Hall i dette øyeblikk hadde åpnet dør 3 - en av "dine" dører - og det var en geit bak den? Ville dette rokke ved din tillit til avgjørelsen din? Selvfølgelig ikke. Hvis bilen gjemte seg bak dør 3, ville Monty Hall åpnet dør 2! Han ville ikke vise deg noe.

Når spillet spilles i henhold til et knock-off-scenario, gir Monty Hall deg virkelig et valg mellom døren du spesifiserte i begynnelsen, og de to gjenværende dørene, hvorav den ene kan være en bil. Når Monty Hall åpner døren som bukken gjemmer seg bak, gjør han deg rett og slett en tjeneste ved å vise deg hvilken av de to andre dørene som ikke er bilen. Du har samme sannsynlighet for å vinne i begge de følgende scenariene.

Velg Dør #1, og godta å "bytte" til Dør #2 og Dør #3 selv før noen dør åpnes.
Velg dør nr. 1, og godta å "bytte" til dør nr. 2 etter at Monty Hall viser deg bukken bak dør nr. 3 (eller velger dør nr. 3 etter at Monty Hall viser deg bukken bak dør nr. 2).

I begge tilfeller gir det å forlate den opprinnelige avgjørelsen deg fordelen med to dører fremfor én, og du kan dermed doble vinnersjansene dine fra ⅓ til ⅔.

Mitt tredje alternativ er en mer radikal versjon av den samme grunnleggende intuisjonen. La oss si at Monty Hall ber deg velge én av 100 dører (i stedet for én av tre). Etter at du har gjort dette, si ved å peke på dør #47, åpner han de 98 gjenværende dørene, som vil avsløre geitene. Nå er bare to dører stengt: din dør nr. 47 og en annen, for eksempel dør nr. 61. Bør du gi opp ditt første valg?

Selvfølgelig ja! Det er 99 prosent sjanse for at bilen står bak en av dørene som du først ikke valgte. Monty Hall gjorde deg høfligheten ved å åpne 98 av disse dørene, det var ingen bil bak dem. Dermed er det bare 1 av 100 sjanse for at ditt første valg (Dør #47) vil være riktig. Samtidig er det en sjanse på 99 av 100 for at ditt første valg var feil. I så fall er bilen plassert bak den gjenværende døren, det vil si dør nr. 61. Hvis du ønsker å spille med vinnersannsynlighet 99 ganger av 100, så bør du "bytte" til dør nr. 61.

Kort sagt, hvis du noen gang må spille Let's Make a Deal, må du definitivt gå tilbake til den opprinnelige avgjørelsen din når Monty Hall (eller hvem som skal erstatte ham) gir deg et valg. En mer universell konklusjon fra dette eksemplet er at dine intuitive gjetninger om sannsynligheten for visse hendelser noen ganger kan villede deg.